НЕЛИНЕЙНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР С ГИСТЕРЕЗИСНЫМИ СВОЙСТВАМИ | Опубликовать статью РИНЦ

Фомина Е.А.

Аспирант, Воронежский государственный университет

НЕЛИНЕЙНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР С ГИСТЕРЕЗИСНЫМИ СВОЙСТВАМИ

Аннотация

В статье рассмотрена математическая модель нелинейного осциллятора с гистерезисными свойствами. Получены качественные аспекты возникновения нерегулярных колебаний в нелинейной динамической системе.

Ключевые слова: нелинейный осциллятор, нелинейная динамическая система, диссипативность.

Fomina E.A.

Postgraduate student, Voronezh State University

NONLINEAR OSCILLATOR WITH HYSTERESIS PROPERTIES

Abstract

The article describes a mathematical model of a nonlinear oscillator with hysteresis properties. We got the qualitative aspects of irregular oscillations in nonlinear dynamical system.

Keywords: nonlinear oscillator, nonlinear dynamical system, dissipative.

Хаотические процессы в  детерминированных нелинейных системах – одна из фундаментальных проблем современного естествознания и основной объект внимания в нелинейной динамике. Область исследований здесь необычайно широка, поскольку охватывает анализ всех зависящих от времени явлений в различных системах, независимо от их природы. Так, например, в биологии и медицине большую роль играют физиологические ритмы, которые качественно меняются при переходе от нормы к патологии [1] или, например, предсказание погоды, которое также опирается на изучение турбулентности в атмосфере и попытке найти «порядок в хаосе».

Вопросам исследования возможных переходов от регулярных  к хаотическим режимам движения детерминированных динамических систем на фазовых плоскостях с периодическим возбуждением посвящена обширная библиография (см., например, [2]-[8]). Исследования отдельных областей фазового пространства систем, в которых имеют место устойчивые и неустойчивые колебания системы проведены в [2], [3],[6]-[8] с применением различных приближенных аналитических и численных методов, а также их сочетаний.

Простейшей нелинейной системой, в которой можно наблюдать вынужденные хаотические колебания, является осциллятор Дуффинга. Большое количество исследований было проведено на примере этой нелинейной системы и написано большое количество научных статей. Периодические вынужденные колебания, описанные  уравнением Дуффинга, предоставляют широкий спектр интересных явлений, которые характерны для поведения нелинейных динамических систем, такие как регулярное и хаотическое движение, сосуществующие аттракторы, регулярные и фрактальные границы областей притяжения, а также локальная и глобальная бифуркация.

Что касается нелинейных зависимостей гистерезисного типа, то они повсеместно возникают в различных разделах физики, механики, биологии и др. науках. Учет гистерезисных эффектов необходим во многих проблемах: гистерезис в задачах управления и биологии, ферромагнитный и диэлектрический гистерезис в физике, пластический гистерезис в механике и т.п. [9]-[16].

В хорошо известном нам уравнении Дуффинга нелинейным звеном выступает кубическая функция вида (1):

      (1)

В настоящей работе нелинейным элементом системы выбрано звено гистерезисного типа, с целью исследования поведения динамической системы с гистерезисными свойствами и анализа влияния управляющих параметров на развитие системы на длительных временах, а также последующими обобщением и систематизацией полученных результатов.

Нелинейный осциллятор с гистерезисными свойствами

Рассмотрим математическую модель нелинейного осциллятора  с гистерезисным звеном, на который оказывается периодическое воздействие.

Динамика системы описывается дифференциальным уравнением (2)  с начальными условиями (3):

где  – конечная система неидеальных реле,  – набор неидеальных реле, на вход которых поступает ,  – решение рассматриваемой системы,  – пороговые числа, , A – амплитуда вынуждающей силы,  ω – частота, b – константа.

Как уже отмечалось ранее, целью данной работы является определение качественных аспектов возникновения (отсутствия) нерегулярных движений в рассматриваемой системе c гистерезисной нелинейностью, аппроксимируемой явным гистерезисным звеном –  конечной системой неидеальных реле; анализ поведения системы при изменении управляющих параметров: амплитуды вынуждающей силы, коэффициентов при гистерезисном звене, а также самой структуры гистерезисного звена; анализ влияния изменения начальных условий системы с целью определения устойчивости или неустойчивости нулевого решения системы (2)-(3), а также последующее обобщение и систематизация полученных результатов.

Оценка влияния изменений управляющих параметров на поведение системы

С помощью применения численных методов, и посредством построения   Simulink-схемы пакета Matlab было найдено численное решение системы (2)-(3). Управляющими параметрами системы являются: амплитуда внешнего возбуждения, структура гистерезисного звена (пороговые значения), коэффициенты при реле. В зависимости от значений данных параметров траектория движения системы имела вид: (см. рис.1.2 – 7.2).

Анализ поведения системы при изменении амплитуды вынуждающей силы

Первый этап исследований включал в себя тестирование поведения системы на наличие (отсутствие) нерегулярных колебаний при изменении амплитуды вынуждающей силы, A и получение соответствующих фазовых портретов системы. В результате многочисленных экспериментов, были получены промежутки на числовой оси, на которых система совершает нерегулярные колебания, а также промежутки – где поведение системы можно описать следующим образом, траектория системы находится в некоторой ограниченной области, т.е. система диссипативна (рис. 2.1, рис. 1.1.).

Рис.1.1 -Фазовый портрет системы ДУ (2) – (3). Амплитуда вынуждающей силы, А=0.4

Рис.2.1 – Фазовый портрет системы ДУ (2) – (3). Амплитуда вынуждающей силы, А=1.3

Чувствительная зависимость системы от начальных условий

Вторым этапом в нашем исследовании было тестирование системы на ее зависимость к начальным условиям, так как, общеизвестно, что нелинейные динамические системы, в которых можно наблюдать хаотические колебания, чувствительно зависимы от начальных условий. По итогам численных экспериментов, мы получили, что наша система чувствительна к начальным условиям тогда, когда амплитуда вынуждающей силы достаточно велика. Причем, если начальные условия заданы в окрестности нуля, то система совершает нерегулярные колебания (рис.4.1, рис.4.2), а при начальных условиях, удаленных от нуля, система –  диссипативна (рис.5.1, рис.5.2). Изменение начальных условий  при малой амплитуде возбуждающей силы не влияет на динамику системы, система – диссипативна, нерегулярные колебания отсутствуют.

Рис.4.1 – Фазовый портрет системы ДУ (2) – (3). Начальные условия: x(0)=0.1, x’(0)=-0.3. Амплитуда вынуждающей силы, А=1.3

Рис.5.1 – Фазовый портрет системы ДУ (2) – (3). Начальные условия: x(0)=-5, x’(0)=7. Амплитуда вынуждающей силы, А=0.4

 

Анализ поведения системы при изменении коэффициентов при реле

Следующий этап – тестирование при изменении коэффициентов при реле. Проведенные исследования показали, что изменение значений коэффициентов при реле не влияет на возникновение в системе нерегулярных колебаний  (рис.6.1, рис.6.2, рис.7.1, рис.7.2), траектория остается в ограниченной области, система диссипативна.

 

Рис.6.1 – Фазовый портрет системы ДУ (2) – (3). Коэф. при реле k=-0.3; k1=-0.65; k2=-50;

Рис.7.1 – Фазовый портрет системы ДУ (2) – (3). Коэф. при реле k=-0.3; k1=-0.65; k2=-50;

 

Оценка потенциала системы

Потенциал рассматриваемой системы можно записать в виде (4):

Заключительным этапом исследования была оценка потенциала системы при изменении значений управляющих параметров системы. По итогам тестирования было установлено, что при увеличении амплитуды вынуждающей силы и коэффициентов при реле значение потенциала растет, кол-во “ям” уменьшается (рис. 8.1, рис.8.2).

Рис.8.1 – Потенциал системы ДУ (2)-(3) . Коэффициенты при реле: k=-15;k1=-1.7; k2=-41;

 

Рис.8.2 – Потенциал системы ДУ (2)-(3) . Коэффициенты при реле: k=-15;k1=-0.2; k2=-41;

Заключение

Проведенные исследования показали, что наличие нерегулярных колебаний  в системе или, наоборот, детерминированное (диссипативное) поведение системы, а также вопрос об устойчивости нулевого решения системы зависит от значений управляющих параметров. По итогам исследования были получены следующие результаты:

1. При малых значениях амплитуды вынуждающей силы на длительных временах (в диапазоне значений 0.01 –  0.5 ) система диссипативна (рис.1.1, рис. 1.2), с увеличением амплитуды (в диапозоне 0.6 – 1.3) в системе возникают нерегулярные колебания (рис.2.1, рис. 2.2), в диапозоне (1.7 – 5) система диссипативна(рис.3.1, рис.3.2).
2. Изменение начальных условий при малой возбуждающей силе не влияет на динамику системы, система – диссипативна, нерегулярные колебания отсутствуют. При большой амплитуде система чувствительна к начальным условиям: если начальные условия заданы в окрестности нуля, то система совершает нерегулярные колебания (рис.4.1, рис.4.2), а при начальных условиях, удаленных от нуля, система –  диссипативна (рис.5.1, рис.5.2).
3. Изменение значений коэффициентов при реле не влияет на возникновение в системе нерегулярных колебаний (рис.6.1, рис.6.2, рис.7.1, рис.7.2).
4. При увеличении амплитуды вынуждающей силы и коэффициентов при реле значение потенциала растет, кол-во “ям” уменьшается (рис. 8.1, рис.8.2).
5. Нулевое решение системы ДУ (1)-(2) не устойчиво по Ляпунову, но устойчиво по Лагранжу – траектория остается в ограниченной области, система – диссипативна.