УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ С АНАЛИТИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ | Опубликовать статью РИНЦ

УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ С АНАЛИТИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ

Научная статья

Мураталиева В.Т. *

ORCID: 0000-0002-7246-7529,

Жалал-Абадский государственный университет, Жалал-Абад, Кыргызстан

* Корреспондирующий автор (vmuratalieva70[at]mail.ru)

Аннотация

Ранее автором были получены с помощью метода степенных рядов условия для алгоритмизации задач установления существования решений некоторых типов линейных интегро-дифференциальных уравнений с аналитическими функциями. В данной статье показано, что примененный метод можно также использовать для линейных интегро-дифференциальных уравнений с пропорциональным запаздыванием аргумента. Проведен обзор использования понятия «алгоритм» в различных разделах математики.

Ключевые слова: алгоритм, интегро-дифференциальное уравнение, теорема, доказательство, линейное уравнение, метод степенных рядов, аналитическая функция.

CONDITIONS FOR EXISTENCE OF SOLUTIONS OF LINEAR INTEGRODIFFERENTIAL EQUATIONS WITH DELAY WITH ANALYTICAL FUNCTIONS

Research article

Muratalieva V.T. *

ORCID: 0000-0002-7246-7529,

Jalal-Abad State University, Jalal-Abad, Kyrgyzstan

* Corresponding author (vmuratalieva70[at]mail.ru)

Abstract

Previously, with the help of the power series method, the author obtained conditions for the algorithmization of problems of establishing the existence of solutions of certain types of linear integrodifferential equations with analytic functions. This article shows that the applied method can also be used for linear integrodifferential equations with a proportional delay of the argument. A review of the usage of the “algorithm” concept in various branches of mathematics was made.

Keywords: algorithm, integrodifferential equation, theorem, proof, linear equation, power series method, analytic function.

Введение и обозначения

В работах [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7] мы рассмотрели различные вопросы существования решений и спектральных свойств интегро-дифференциальных уравнений с аналитическими функциями, при этом мы использовали [9]. В данной статье мы переносим разработанный метод на интегро-дифференциальные уравнения с пропорциональным запаздыванием аргумента. Показано, что для решения задачи требуется конечное количество действий с исходными данными, то есть задача установления существования или несуществования решения в некотором смысле алгоритмизируема. С этой целью проведен обзор использования понятия «алгоритм» в различных разделах математики.

Обозначения:

N – множество натуральных чисел; N₀ – множество, состоящее из нуля и натуральных чисел; Z – множество целых чисел; R – множество вещественных чисел; R₊ – множество неотрицательных вещественных чисел; C – множество комплексных чисел.

Обзор ранее полученных результатов

В [1] рассмотрено уравнение

       (1)

 – аналитическая функция, с обязательным условием 

Установлено, что спектральные свойства по параметру λ возникают при p=2. Поэтому рассмотрено более общее уравнение

       (2)

K(t) – аналитическая функция.

В [2] рассмотрены спектральные свойства уравнений

        (3)

        (4)

В [3] сформулирована аксиоматика класса бесконечных систем разностных уравнений, возникающих при поиске спектров линейных вольтерровских интегральных и интегро-дифференциальных уравнений третьего рода. Найдены достаточные условия существования бесконечных дискретных спектров таких уравнений. Введена функция А: Zx N_0^→R₊ по формулам:

По заданным числам p_k ∈ N₀ , m_k∈Z, b_k∈R (b_k ≠ 0), k=1.. K ∈ N;  f[n] ∈ R, n ∈ N₀ составлена бесконечная система разностных уравнений для чисел u[n] ∈ R, n ∈ N₀ :  I_k:= p_k– m_k, k=1.. K,

       (6)

В [4] предложен алгоритм для определения существования бесконечных дискретных спектров систем разностных уравнений вида (6).

В [5] рассмотрена система уравнений (векторно-матричное уравнение), являющаяся обобщением уравнения (1) при р=2:

        (7)

В [6] рассмотрено уравнение, являющееся обобщением уравнения (1) для функций двух переменных

        (8)

Алгоритмизация и использование компьютеров в математических исследованиях

В каждом разделе математики возникает вопрос, можно ли доказывать утверждения о ее объектах каким-либо стандартным (раньше еще применялся термин «регулярным») методом [8].

В настоящее время такой вопрос особенно актуален, потому что, в свою очередь, формализация такого метода дает возможность применять компьютеры, что повышает эффективность математических исследований.

Такие стандартные методы в литературе также называются «алгоритмы». Но здесь следует отметить, что это слово понимается по-разному. В строгом смысле, применительно к математике.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Алгоритм допускает: использование букв, рациональных чисел, четырех арифметических операций и операции сравнения (для букв: равно – не равно, для чисел: меньше – равно – больше), операторов: ввода исходных данных, присвоения, условного перехода, вывода результатов и окончания работы.

Иногда под словом «алгоритм» понимают вышеприведенное определение с заменой «рациональных чисел» на «вешественные числа». Но сами вешественные числа и операции сравнения для них алгоритмически не определены, поэтому для формализации такого понятия нужно использовать строгое понятие «алгоритм с оракулом», оракул и сообщает о результате сравнения.

Если еще добавить, что оракул может находить решения алгебраических уравнений с вещественными коэффициентами (будем называть его «вещественным оракулом»), то получаем

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. «Вещественный алгоритм» допускает: использование букв, чисел из R, арифметических операций над ними, решения алгебраических уравнений с вещественными коэффициентами и сравнения (для букв: равно – не равно, для вещественных чисел: меньше – равно – больше), операторов: ввода, присвоения, условного перехода, вывода и окончания работы.

Такому определению соответствуют большинство методов линейной алгебры.

Также, иногда неявно допускаются бесконечное количество раз «единообразно исполняемые действия».

Определение 2 при компьютерной реализации отличается от Определения 1 в основном в невозможности определить, равно ли малое число (разность двух близких чисел) нулю.

Возможны различные классификации использования компьютеров в математике:

Классификация по связи ответа, данного компьютером, с истинным.

При строгой (математической) постановке задачи на поиск объекта ответ, данный компьютером (результат работы программы), может:

– заведомо совпадать с истинным;

– иметь гарантированную связь с истинным (в тех случаях, когда истинный ответ нельзя изобразить средствами компьютера);

– иметь нестрогую (статистическую) связь с истинным.

Первая возможность достигается при использовании точных методов (взаимно-однозначного соответствия между математическим объектом и физическим состоянием компьютера при его соответствующей интерпретации). Неформально их можно разделить на точные вычисления (с целыми числами и подобными им объектами) аналитические (символьные, алгебраические) преобразования и эвристически-логический  вывод.

Мы будем использовать оба Определения 1 и 2.

Пример уравнения с запаздыванием

Рассматривается интегро-дифференциальное уравнение типа Вольтерра c запаздыванием аргумента, с аналитическими функциями, вида

       (9)

Будем искать решение в виде

          (10)

Правую часть представим в виде

        (11)

Подставляя (10) и (11) в (9), получаем:

Отсюда следует бесконечная система уравнений для коэффициентов искомой функции 

ТЕОРЕМА 1. Для установления наличия аналитического решения уравнения (8) достаточно проверить конечное число равенств.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Возьмем n∈N, n≥a.Тогда, если k≥n и предыдущие значения  существуют, то   из

k-того уравнения (12) однозначно определяется u_k и сходимость ряда (9) такая же, как сходимость ряда (10).

Рассмотрим последовательно 0-е, 1-е, …, n–e уравнения (11).

Из 0-го уравнения находим u₀.

Для k=1,…,p:

Если  то находим u_k; если  то полагаем «u_k – любое», иначе выдаем сообщение «уравнение не имеет аналитических решений» и на этом останавливаемся.

Для k>p:

Если  то:

если  определено, то находим u_k, иначе полагаем «u_k  – любое».

Если  то:

если ( определено и ) или «  любое», то находим  и полагаем «u_k  – любое»;

если  определено и  то выдаем сообщение «уравнение не имеет аналитических решений» и на этом останавливаемся.

Если все 0-е, 1-е, …, n–e уравнения пройдены, то получаем, что уравнение (8) имеет аналитическое решение (или бесконечное количество таких решений).

Таким образом, для уравнения (8) построен алгоритм согласно Определения 2. Если заданные числа a, a и коэффициенты функции f(t) – рациональные числа, то можно построить алгоритм в смысле Определения 1.

Заключение

В большинстве работ по теории уравнений различных видов найдены достаточные условия существования решений. Из статей [1]-[7] и рассмотренного в данной статье примера видно, что для некоторых типов уравнений с аналитическими функциями можно построить алгоритмы, решающие альтернативу существования или не существования решений.

Конфликт интересов Не указан.

Conflict of Interest None declared.