СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МЕТОДОВ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ | Опубликовать статью РИНЦ

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МЕТОДОВ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Научная статья

Богданов А.Е.¹, Торшина О.А.^2, *

² ORCID: 0000-0003-3999-0622,

^{1, 2} Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова, Магнитогорск, Россия

* Корреспондирующий автор (olganica[at]mail.ru)

Аннотация

К нелинейным системам уравнений и необходимости их решения приводит рассмотрение многих прикладных задач, к которым относятся краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений и для уравнений с частными производными (разрешаемые методом конечных разностей), задачи оптимизации, задачи минимизации функций многих переменных, применение неявных методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений и т.д. Численное решение систем нелинейных уравнений в общем случае задача более сложная, нежели решение систем линейных уравнений, поскольку не существует методов, гарантирующих успех решения любой такой задачи. Выявление оптимального метода и его дальнейший выбор позволяет увеличить шансы на успешное решение систем нелинейных уравнений. В связи с актуальностью вышеизложенного в данной статье представлены алгоритмы методов численного решения систем нелинейных уравнений, согласно которым произведен поиск корней типовой для прикладных задач системы. По полученным результатам проведен сравнительный анализ с целью выявления оптимального метода. Оптимальным считается тот метод, которым найдены значения всех корней системы с требуемой точностью за наименьшее число итераций.

Ключевые слова: краевые задачи, системы нелинейных уравнений, численные методы, дифференциальные уравнения.

COMPARATIVE ANALYSIS OF COMPUTATIONAL METHODS OF SYSTEM OF NONLINEAR EQUATIONS

Research article

Bogdanov A.E.¹, Torshina O.A.^2, *

² ORCID: 0000-0003-3999-0622,

^1,2 Federal State Budgetary Educational Institution of Higher Education, Nosov Magnitogorsk State Technical University, Russia, Magnitogorsk

*Corresponding author (olganica[at]mail.ru)

Abstract

The consideration of numerous applied problems leads to systems of nonlinear equations, they include boundary problems for ordinary differential equations and partial differential equations (solved by the finite difference method), optimization problems, problems of minimization of functions of many variables, the use of implicit methods for integrating ordinary differential equations, etc. Numerical solution of systems of nonlinear equations in the general case is a more complicated problem than the solution of systems of linear equations, since there are no methods that guarantee the success of solving any problem of this kind. Identifying the optimal method and its further selection allows you to increase the chances of successfully solving systems of nonlinear equations. In connection with the relevance of the above-mentioned, this article presents the algorithms for methods for the numerical solution of systems of nonlinear equations, according to which the root of a typical system for applied problems was searched. According to the obtained results, a comparative analysis was conducted in order to identify the optimal method. The optimal method is the one that found the values of all the roots of the system with the required accuracy in the least number of iterations.

Keywords: boundary value problems, systems of nonlinear equations, numerical methods, differential equations.

Введение

В общем случае системы n нелинейных уравнений с n неизвестными  принято записывать следующим образом (1).

   (1)

Где  – функции независимых переменных.

Решением системы (1) является вектор (векторы) , при подстановке которого все уравнения системы обращаются в тождества (2).

   (2)

Количество решений (единственное, конечное, бесконечное) зависит от рассматриваемого частного случая.

Решение системы (1) можно разбить на три этапа: графическое разделение корней, выбор оптимальных начальных приближений, преобразование системы к требуемому методами виду с последующим поиском численных решений согласно алгоритмам.

Графическое разделение корней сводится к построению графика для системы (1) в любом математическом пакете, обладающем необходимыми графическими средствами (Maple, MathCad). На основании построенного графика можно сделать вывод о количестве решений системы и выбрать оптимальные нулевые приближения для поиска каждого корня рассматриваемыми численными методами.

Оптимальными нулевыми приближениями будут такие значения, которые при визуальном анализе графика расположены к корню наиболее близко. От правильности выбора нулевого приближения зависит успех сходимости итерационных процессов рассматриваемых методов.

В рамках статьи рассмотрены следующие итерационные процессы поиска корней: «метод простых итераций», «метод Ньютона», «метод секущих».

Условия сходимости итерационных процессов можно оценивать различными способами, в числе которых «принцип сжимающих отображений», представленный следующей теоремой: последовательность ,  элементов n-мерного евклидова пространства, порожденная итерационным процессом  сходится к решению X системы нелинейных алгебраических уравнений , если отображение  является сжимающим; при этом выполнено .

Полученные результаты могут быть использованы при решении задач рассмотренных в работах [4]-[10].

Постановка и решение задачи

Рассмотрим систему нелинейных уравнений:

   (3)

Для численного решения заданной системы (3) осуществим описанные во введении для общего случая этапы и выполним сравнительный анализ результатов, полученных рассматриваемыми методами.

Этап 1. Графическое разделение корней [1].

Для построения графика система (3) преобразована к виду (4):

    (4)

Для преобразованной системы (4) построен график в математическом пакете Maple (рис. 1).

Рис. 1 – График системы (4) построенный в пакете Maple

 

После визуального анализа рисунка 1 можно сделать следующие выводы:

1. Система (3) имеет 4 решения.
2. Корни в рассматриваемой системе – точки пересечения эллипса с гиперболой. На графике видно, что значения корней в 1 и 3 четвертях будут противоположными. Тоже самое можно сказать про значения во 2 и 4 четвертях. Это значит, что поиск корня можно осуществлять либо только в 1 и 4, либо во 2 и 3 четвертях. Далее будем искать решение в 1 и 4 четвертях.

Этап 2. Выбор оптимальных начальных приближений [1].

Графическое разделение корней (этап 1) позволяет сделать оценки первых приближений. Оптимальные начальные приближения: .

Этап 3. Преобразование системы к требуемому методами виду с последующим поиском численных решений согласно алгоритмам.

Алгоритм метода простых итераций [2].

1. Задать начальное приближение  и малое положительное число ε (точность). Положить .
2. Вычислить  по формуле: .
3. Если  процесс завершен и . Если , то положить  и перейти к пункту 2.

Если данный итерационный процесс сходится, то он сходится к решению системы уравнений.

Для сходимости итерационного процесса необходимо, чтобы норма производной вектор-функции   была меньше некоторого положительного числа  в некоторой окрестности Ψ области решения системы, из которой не выходят приближенные значения  при итерации .

Для применения метода требуется привести систему уравнений (3) к равносильному виду:

   (5)

где  функции  определены и непрерывны в окрестности изолированного решения   системы (5).

Система может быть преобразована к виду (5) различными способами. Способ записи уравнений играет особую роль, так как это влияет на выполнение условия сходимости при численном решении. Чтобы ответить на вопрос, выполняется ли условие сходимости в рассматриваемом примере:

1. составлены все возможные выражения из системы (3), пригодные для приведения к виду системы (5).
2. вычислены нормы частных производных от правых частей этих выражений в нулевом приближении.
3. просуммированы суммы найденных норм для каждой вектор-функции и выбраны те, которые соответствуют условию .

Нормы производных для системы (3) представлены в таблицах 1-4.

 

Таблица 1 – Нормы производных для  в нулевом приближении (0.2;-0.9)

Условие сходимости итерационного процесса выполняется только в первом и третьем случае. В других случаях нормы производных больше 1, итерационный процесс будет расходящимся.

 

Таблица 2 – Нормы производных для  в нулевом приближении (0.2;-0.9)

Условие сходимости итерационного процесса выполняется только во втором случае.

 

Таблица 3 – Нормы производных для  в нулевом приближении (1;0.6)

Во всех случаях нормы производных больше единицы, итерационный процесс будет расходящимся.

 

Таблица 4 – Нормы производных для  в нулевом приближении (1;0.6)

Алгоритм будет следующим:

1. Задать начальное приближение  и малое положительное числоε (точность). Положить .
2. Решить систему линейных алгебраических уравнений относительно поправки .
3. Вычислить  по формуле: .
4. Если  процесс завершен и  . Если , то положить   и перейти к пункту 2.

Алгоритм метода секущих [4].

1. Задать начальное приближение   и малое положительное число ε (точность).
2. Положить  – матрица Якоби.
3. Решить систему линейных алгебраических уравнений  относительно  – поправки к текущему приближению.
4. Вычислить  по формуле: .
5. Если , процесс завершить и положить . Если , то вычислить:  положить  и перейти к пункту 3.

Заключение

Результаты численного решения системы нелинейных уравнений (3) по рассмотренным выше алгоритмам приведены в таблицах 5-6.

 

Таблица 5 – Расчетная таблица для нулевого приближения (0.2;-0.9)

 

Из таблицы 5 видно, что все методы для начального приближения (0.2;-0.9) дали результаты, близкие к точному решению. Однако количество итераций методов различно.

 

Таблица 6 – Расчетная таблица для нулевого приближения (1;0.6)

Результаты в таблице 6 для начального приближения (1;0.6) указывают на то, что метод простых итераций расходится (в соответствии с условием сходимости данного метода). Остальные методы сходятся, показав различное число итераций.

Согласно результатам сравнительного анализа, в качестве оптимального метода может быть выбран «Метод Ньютона», так как он сошелся для всех корней рассматриваемой системы нелинейных уравнений с требуемой точностью за наименьшее число итераций.

Конфликт интересов Не указан.

Conflict of Interest None declared.